Вопросы к экзамену по курсу "Основы вариационного исчисления" лектор Богданов Р.И.

1) Примеры вариационных (простейших) задач. Функционал (простейший). Основной класс функций. Вариация функционала. Экстремум (слабый, сильный) функционала. Необходимое условие экстремума.
2) Топология в пространстве допустимых функций. Понятие нормы в векторном пространстве. Примеры норм в векторном пространстве.
3) Простейшая вариационная задача. Уравнение Эйлера. Основные леммы вариацирннргр исчисления: обращение в нуль вариации функционала на экстремали; обращение в нуль ядра вариации в форме Лагранжа; обращение в постоянную ядра вариации в форме Дюбуа - Реймонда. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
4) Функционалы, зависящие от производных порядка выше первого. Уравнение Эйлера - Пуассона. Частные случаи интегрируемости уравнений Эйлера - Пуассона.
5) Экстремумы функционала, зависящего от нескольких функций. Система уравнений Эйлера. Пространственная вариационная задача.
6) Функционал, зависящий от функции нескольких переменных. Уравнение Эйлера - Остроградского. Основной класс функций. Вариация функционала в форме Лагранжа; основные леммы вариационного исчисления в многомерном случае (несколько независимых переменных).
7) Вариационная задача с подвижными граничными условиями. Вариация функционала при варьировании граничных точек. Условия трансверсальности.
8) Достаточные условия слабого экстремума. Понятие сопряженной точки.
9) Задача на условный экстремум. Понятие множителя Лагранжа.